比特派钱包官网|什么是质数什么是合数口诀

什么是质数与合数？ - 知乎

什么是质数与合数？ - 知乎切换办法写文章登录/注册什么是质数与合数？易考360管理类联考易考360管理类联考考研教导什么是质数？什么是合数？1是质数吗？2是合数吗？联考中常常考哪些数？这些看似根底却又常常搞错的数学常识点，常令考生在考试中失分，今天就带咱们捋一捋！质数：只要1和它自身两个因数（约数），那么这样的数叫做质数。比方7，只要1和7两个约数。合数：除了能被1和它自身整除，还能被其他的正整数整除，那么这样的数叫做合数。比方8，有1、2、4和8四个约数。所以说，因数个数为2，则是质数；因数个数大于2，则是合数。那“1”因数只要1个，是质数仍是合数呢？答案是，既不是质数也不是合数，由于它只要自身一个因数，不符合质数和合数两个界说。在联考中会考啥？怎样考呢？1、30以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。2、2是仅有一个偶数质数，且常作为考点！其他质数均是奇数！例：假如两个质数的和或差是奇数，那么其间必有一个数是2！ 假如三个质数之和为偶数，那么其间必有一个数是2！同学们能绕过来吗？接下来让咱们看一道例题，联考是怎样考的呢？例：设m、n是小于20的质数，满意条件|m-n|=2的{m，n}共有（ ）。A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 E.8组答案解析：C。枚举思想（20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19），明显，有3,5；5,7；11,13；17,19。共4组，这儿要弄清楚3,5和5,3是相同的，调集数数列的差异，有序与无序！若问的是m，n取值有会集情况，则为8种。怎样样，同学们都清楚了吗？修改于 2022-04-08 11:01数学​附和 5​​添加谈论​共享​喜爱​保藏​请求

小学数学 质数与合数 - 知乎

小学数学 质数与合数 - 知乎切换办法写文章登录/注册小学数学 质数与合数鲲鹏​小学数学中的质数与合数概念，首要是协助学生了解和差异大于1的天然数中，哪些数是由1和自身两个因子构成的，而哪些数是由1和其他约数（即除了自身和1之外的因数）构成的。质数的界说是指一个大于1的天然数，除了1和它自身外，没有其他约数，这样的数称为质数[[1]]。例如，2、3、5、7都是质数[[5]]。这意味着这些数只要1和它们自身作为因数，没有第三个因数。合数的界说则是指一个大于1的天然数，除了1和它自身，还有其他的约数[[6]]。例如，100以内的合数包括11、43、75、97、135等[[1]]。这意味着这些数除了有1和它们自身作为因数外，还有更多的因数。在小学数学的教育中，质数和合数的概念是经过操练题来教授的。例如，有关于20以内既是合数又是奇数的数的填空题[[2]]，以及判别一个数是否为质数仍是合数的标题[[3]]。这些操练旨在协助学生经过实践操作和考虑，加深对质数和合数概念的了解。总的来说，小学数学中的质数与合数概念，不只是数学根底常识的一部分，也是培育学生逻辑思想才能和处理问题才能的重要东西。经过不断的操练和了解，学生能够更好地把握这一数学范畴的根本概念。#### 怎么经过游戏或活动进步学生对质数与合数概念的了解？1. **运用在线游戏和益智小游戏**：能够经过在线渠道如7K7K供给的质数与合数游戏，让学生在规则的时间内逃避含合数或头骨的泡沫，并将含有质数的泡沫切碎，以此来操练和了解质数与合数的概念[[23]][[27]]。这种办法既风趣又能有用地进步学生的学习爱好。2. **规划讲堂小游戏**：在讲堂上经过规划一些小游戏，如抖音上说到的质数合数讲堂小游戏，使学生在轻松愉快的气氛中学习质数和合数的常识。这些小游戏不只能够协助学生了解和把握质数合数的含义，还能培育学生的归纳归纳才能[[24]]。3. **结合实践日子情境**：经过模仿实践日子中的情境，如在质数合数小游戏中，让学生了解到质数是只要1和它自身的数，而合数是约数至罕见三个。这样的比方能够协助学生更直观地了解质数和合数的差异[[25]]。4. **同步操练题和常识点解说**：经过供给与五年级数学下册相关的质数与合数常识点及同步操练题，让学生在完结习题的一起，加深对这一概念的知道和了解。一起，能够参阅搜狐上发布的《质数和合数》常识点及同步操练题，进行针对性的操练[[26]]。5. **家庭数学活动**：关于年纪较小的孩子，能够经过家庭活动如《找小球》活动，让幼儿在运用数学常识处理实践问题的一起，也进步了对调集概念的了解。这种前期的数学操练有助于孩子们建立起对数学的爱好和根底[[29]]。经过结合游戏、在线渠道、讲堂小游戏、实践日子情境模仿、同步操练题以及家庭数学活动等多种办法，能够有用地进步学生对质数与合数概念的了解。#### 质数与合数在处理实践问题中的运用有哪些比方？质数与合数在处理实践问题中的运用比方包括但不限于以下几个方面：1. **质因数分化问题**：质数分化是处理整数的一种重要办法，特别是在核算机科学和数学教育中。经过质数分化，能够将一个较大的整数分化为若干个小的质数之和，这关于处理大型数据集、密码学等范畴十分有用[[31]]。2. **最大公约数和最小公倍数问题**：在实践运用中，如工程规划、经济规划等，常常需求核算两个或多个变量的最大公约数和最小公倍数。这些问题的处理往往依赖于对质数和合数的深化了解[[32]]。3. **计数质数**：计数质数是核算一切小于非负整数n的质数的数量，这在数学教育和研讨中是一个根本且重要的使命。例如，经过计数100以内的质数，能够协助学生了解质数的散布规则[[34]]。4. **GRE数学考点**：GRE（Graduate Record Examinations）考试中的数学考点之一便是质数和合数。经过分化质因数的办法处理整除相关的问题，以及知道平方数和非平方数的因数个数，这些都是GRE数学考试中的重要内容[[38]]。5. **运用题求解**：在一些特定的运用题中，如将四个数恣意组合的乘积问题，也涉及到质数和合数的常识。这种类型的问题一般要求学生能够了解并运用质数和合数的概念来处理[[33]]。质数与合数在处理实践问题中的运用十分广泛，从根底的数学常识学习到高档的数学问题处理，都离不开对质数和合数的深化了解和运用。#### 怎么规划一个风趣的操练，协助学生差异质数和合数？1. **引进游戏化学习**：能够运用现有的在线游戏或运用程序，如PrimeSmash![[43]]。这种游戏经过点击、消除的办法来回忆质数，既风趣又能有用地协助学生了解质数和合数的概念。2. **制造质数表**：根据[[42]]的主张，能够让学生制造100以内的质数表，并熟记其间的20个质数。这样的操练不只能够稳固学生对质数和合数的了解，还能进步他们的回忆力和核算才能。3. **规划应战性问题**：能够规划一些具有应战性的问题，比方“天然数中除了质数便是合数吗？”[[41]]。经过这些问题，能够激起学生的好奇心和探究欲，一起也能加深他们对质数和合数的了解。4. **结合实践日子实例**：将质数和合数的概念与日常日子中的比方相结合，比方解说为什么1不是质数，由于它的约数只要一个，即1 [[45]]。这样的比方能够让学生了解到数学常识在实践国际中的运用，然后愈加容易接受和了解。5. **小组协作学习**：鼓舞学生进行小组协作，一起谈论和处理问题。经过小组谈论，学生能够互相学习，共享互相的主意和解题办法，这不只能够进步学生的团队协作才能，还能促进他们之间更好的沟通和沟通。经过引进游戏化学习、制造质数表、规划应战性问题、结合实践日子实例以及小组协作学习等办法，能够有用地协助学生规划一个风趣的操练，然后更好地差异质数和合数。#### 质数与合数的概念在不同文明中的表现办法有哪些？质数与合数的概念在不同文明中的表现办法或许因文明背景、前史开展和数学传统的不同而有所差异。在现代数学中，质数的界说是指除了自己的1和一以外，没有其他约数的数。合数的概念则是指除了自身和一之外，还有其他约数的数[[48]]。但是，根据并未供给关于不同文明中这两个概念的表现办法的详细信息。由于缺少直接我查找到的材料，咱们无法详细谈论质数与合数在不同文明中的表现办法。不过，能够估测，这些概念在数学教育和研讨中被广泛谈论，但其表现办法或许会遭到文明背景的影响，比方在某些文明中，人们或许更倾向于运用“无限”或“无量”来描绘某些数列，而不是简略地将它们分为质数和合数。此外，不同的数学分支（如代数、几多么）对质数的了解也有所不同，这或许导致在特定范畴内对质数与合数的界说有纤细的不同。尽管根据现有材料无法详细阐明质数与合数在不同文明中的表现办法，但能够合理估测这种概念在数学教育和研讨中具有普遍性，且或许遭到文明背景的影响。#### 怎么经过试验或调查活动协助学生直观了解质数与合数的界说？1. **试验和调查活动结合**：能够规划一些试验活动，让学生在着手操作中发现质数和合数的特征。例如，经过摆放不同数量的小正方形来调查它们是否为质数或合数，这样的活动能够直观地展现质数和合数的特性[[49]]。2. **运用数轴进行比照**：经过数轴的运用，让学生比较近似数在数轴上的方位，如1.5的两位小数坐落1.45~1.54之间，这种直观的比较能够协助学生了解质数和合数的概念[[51]]。3. **试验环节的规划**：规划一些试验环节，引导学生在操作活动中自主发现天然数因数个数的特征，然后开端感知素数和合数的概念[[52]]。4. **激活学生的相关阅历**：从激活学生的相关阅历下手，让学生写出某些数的一切因数，然后让学生考虑从中能发现什么，这样经过对因数个数的谈论，引出质数、合数的概念，有助于学生形成对这两个概念的了解[[53]]。5. **调查、试验与猜测**：重视让学生根据根本的数学活动阅历，开端提出猜测，阅历常识的进程，使学生了解质数、合数的含义，并学会判别一个数是质数仍是合数[[54]]。6. **经过找质数知道质数和合数**：在学生学习了“找质数”的根底上进行的根底上进行教育，经过找质数的进程来知道质数和合数，这样的教育办法能够让学生更好地了解质数和合数的概念[[55]]。经过上述办法，能够有用地协助学生从直观的视点了解质数与合数的界说，然后提高数学素质。发布于 2024-02-19 15:08・IP 属地四川小学数学素数数学​附和​​添加谈论​共享​喜爱​保藏​请求

质数 - 维基百科，自在的百科全书

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序文

1界说和比方

2算术根本定理

开关算术根本定理子章节

2.11是否为质数

3前史

4素数的数目

开关素数的数目子章节

4.1欧几里得的证明

4.2欧拉的解析证明

5测验质数与整数分化

开关测验质数与整数分化子章节

5.1试除法

5.2筛法

5.3质数测验与质数证明

5.4专用意图演算法与最大已知质数

5.5整数分化

6质数散布

开关质数散布子章节

6.1质数的公式

6.2一特定数以下的质数之数量

6.3等差数列

6.4二次多项式的质数值

7未处理的问题

开关未处理的问题子章节

7.1ζ函数与黎曼猜测

7.2其他猜测

8运用

开关运用子章节

8.1模一质数与有限体之运算

8.2其他数学里呈现的质数

8.3公开金钥加密

8.4天然里的质数

9推行

开关推行子章节

9.1环内的素元

9.2质抱负

9.3赋值

10在艺术与文学里

11另见

12注记

13参阅材料

14外部链接

开关外部链接子章节

14.1质数产生器与核算器

开关目录

质数

136种言语

AfrikaansAlemannischAragonésÆngliscالعربيةالدارجةمصرىঅসমীয়াAsturianuAzərbaycancaتۆرکجهБашҡортсаŽemaitėškaБеларускаяБеларуская (тарашкевіца)БългарскиবাংলাBrezhonegBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschZazakiΕλληνικάEmiliàn e rumagnòlEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiVõroNa Vosa VakavitiFøroysktFrançaisNordfriiskGaeilge贛語Kriyòl gwiyannenGalegoગુજરાતીHawaiʻiעבריתहिन्दीHrvatskiHornjoserbsceKreyòl ayisyenMagyarՀայերենԱրեւմտահայերէնInterlinguaBahasa IndonesiaÍslenskaItaliano日本語PatoisLa .lojban.JawaქართულიҚазақшаភាសាខ្មែរಕನ್ನಡ한국어KurdîKernowekКыргызчаLatinaLëtzebuergeschLimburgsLombardLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംМонголमराठीBahasa MelayuMaltiမြန်မာဘာသာPlattdüütschनेपालीNederlandsNorsk nynorskNorsk bokmålOccitanଓଡ଼ିଆਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisپنجابیPortuguêsRomânăРусскийСаха тылаSicilianuSrpskohrvatski / српскохрватскиTaclḥitසිංහලSimple EnglishSlovenčinaSlovenščinaSoomaaligaShqipСрпски / srpskiSvenskaKiswahiliŚlůnskiதமிழ்తెలుగుТоҷикӣไทยTagalogTürkçeئۇيغۇرچە / UyghurcheУкраїнськаاردوOʻzbekcha / ўзбекчаVènetoVepsän kel’Tiếng ViệtWest-VlamsWalonWinaray吴语ХальмгייִדישYorùbáⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ白话Bân-lâm-gú粵語

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各式各样的数

根本

N

⊆

Z

⊆

Q

⊆

R

⊆

C

{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正数

R

+

{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}

天然数

N

{\displaystyle \mathbb {N} }

正整数

Z

+

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}

小数

有限小数

无限小数

循环小数

有理数

Q

{\displaystyle \mathbb {Q} }

代数数

A

{\displaystyle \mathbb {A} }

实数

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

复数

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

高斯整数

Z

[

i

]

{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数

R

−

{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}

整数

Z

{\displaystyle \mathbb {Z} }

负整数

Z

−

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}

分数

单位分数

二进分数

规则数

无理数

超越数

虚数

I

{\displaystyle \mathbb {I} }

二次无理数

艾森斯坦整数

Z

[

ω

]

{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

延伸

二元数

四元数

H

{\displaystyle \mathbb {H} }

八元数

O

{\displaystyle \mathbb {O} }

十六元数

S

{\displaystyle \mathbb {S} }

超实数

∗

R

{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }

大实数

上超实数

双曲复数

双复数

复四元数

共四元数（英语：Dual quaternion）

超复数

超数

超实践数

其他

质数

P

{\displaystyle \mathbb {P} }

可核算数

基数

阿列夫数

同馀

整数数列

公称值

规则数

可界说数

序数

超限数

p进数

数学常数

圆周率

π

=

3.14159265

{\displaystyle \pi =3.14159265}

…

天然对数的底

e

=

2.718281828

{\displaystyle e=2.718281828}

…

虚数单位

i

=

−

1

{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}

无限大

∞

{\displaystyle \infty }

查论编

质数（Prime number），又称素数，指在大于1的天然数中，除了1和该数自身外，无法被其他天然数整除的数（也可界说为只要1与该数自身两个正因数的数）。大于1的天然数若不是质数，则称之为合数（也称为合成数）。例如，5是个质数，由于其正因数只要1与5。7是个质数，由于其正因数只要1与7。而4则是个合数，由于除了1与4外，2也是其正因数。6也是个合数，由于除了1与6外，2与3也是其正因数。算术根本定理确立了质数于数论里的中心位置：任何大于1的整数均可被表明成一串仅有质数之乘积。为了保证该定理的仅有性，1被界说为不是质数，由于在因式分化中能够有恣意多个1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有用因数分化）。

古希腊数学家欧几里得于公元前300年前后证明有无限多个质数存在（欧几里得定理）。现时人们已发现多种验证质数的办法。其间试除法比较简略，但需时较长：设被测验的天然数为

n

{\displaystyle n}

，运用此办法者需逐个测验2与

n

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

之间的质数，保证它们无一能整除

n

{\displaystyle n}

。关于较大或一些具特别办法（如梅森数）的天然数，人们一般运用较有用率的演算法测验其是否为质数（例如282589933-1是直至2018年12月停止已知最大的梅森质数[1]，也是直至2018年12月停止已知最大的质数）。尽管人们仍未发现能够彻底差异质数与合数的公式，乃至研讨质数散布时适当有力的筛法也会碰到奇偶性问题（也便是多种筛法都无法差异质数跟两个质数相乘的合数的问题），但已建构了质数的散布办法（亦即质数在大数时的核算办法）。19世纪晚期得到证明的质数定理指出：一个恣意天然数n为质数的机率反比于其数位（或

n

{\displaystyle n}

的对数）。

许多有关质数的问题依然未解，如哥德巴赫猜测（每个大于2的偶数可表明成两个素数之和）及孪生质数猜测（存在无量多对相差2的质数）。这些问题促进了数论各个分支的开展，首要在于数字的解析或代数方面。质数被用于资讯科技里的几个程序中，如公钥加密运用了难以将大数分化成其质因数之类的性质。质数亦在其他数学范畴里形成了各种广义化的质数概念，首要呈现在代数里，如质元素及质抱负。

界说和比方[修改]

一个天然数（如1、2、3、4、5、6等）若恰有两个正因数（1及此数自身），则称之为质数[2]。大于1的天然数若不是质数，则称之为合数。

数字12不是质数，由于将12以每4个分红1组，恰可分红3组（也有其他分法）。11则无法分红数量都大于1且都相同的各组，而都会有剩馀。因而，11为质数。

在数字1至6间，数字2、3与5为质数，1、4与6则不是质数。1不是质数，其理由见下文。2是质数，由于只要1与2可整除该数。接下来，3亦为质数，由于1与3可整除3，3除以2会馀1。因而，3为质数。不过，4是合数，由于2是另一个（除1与4外）可整除4的数：

4 = 2 · 2

5又是个质数：数字2、3与4均不能整除5。接下来，6会被2或3整除，由于

6 = 2 · 3

因而，6不是质数。右图显现12不是质数：12 = 3 · 4。不存在大于2的偶数为质数，由于根据界说，任何此类数字

n

{\displaystyle n}

均至罕见三个不同的因数，即1、2与

n

{\displaystyle n}

。这意指

n

{\displaystyle n}

不是质数。因而，“奇质数”系指任何大于2的质数。类似地，当运用一般的十进位制时，一切大于5的质数，其尾数均为1、3、7或9，由于尾数0、2、4、6、8为2的倍数，尾数为0或5的数字为5的倍数。

若

n

{\displaystyle n}

为一天然数，则1与

n

{\displaystyle n}

会整除

n

{\displaystyle n}

。因而，质数的条件可从头叙说为：一个数字为质数，若该数大于1，且没有

2

,

3

,

…

,

n

−

1

{\displaystyle 2,3,\ldots ,n-1}

会整除

n

{\displaystyle n}

。另一种叙说办法为：一数

n

>

1

{\displaystyle n>1}

为质数，若不能写成两个整数

a

{\displaystyle a}

与

b

{\displaystyle b}

的乘积，其间这两数均大于1：

n

=

a

⋅

b

{\displaystyle n=a\cdot b}

.

换句话说，

n

{\displaystyle n}

为质数，若

n

{\displaystyle n}

无法分红数量都大于1且都相同的各组。

由一切质数组成之调集一般标记为P或

P

{\displaystyle \mathbb {P} }

。

前168个质数（一切小于1000的质数）为2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, ...（OEIS数列A000040）。

算术根本定理[修改]

主条目：算术根本定理

质数关于数论与一般数学的重要性来自于“算术根本定理”。该定理指出，每个大于1的整数均可写成一个以上的质数之乘积，且除了质因数的排序不同外是仅有的[3]。质数可被以为是天然数的“根本建材”，例如：

23244

= 2 · 2 · 3 · 13 · 149

= 22 · 3 · 13 · 149. （22表明2的平方或2次方。）

好像此例一般，相同的因数或许呈现屡次。一个数n的分化：

n

=

p

1

⋅

p

2

⋅

…

⋅

p

t

{\displaystyle n=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{t}}

成（有限多个）质因数

p

1

{\displaystyle p_{1}}

、

p

2

{\displaystyle p_{2}}

、……、

p

t

{\displaystyle p_{t}}

，称之为

n

{\displaystyle n}

的“因数分化”。算术根本定理能够从头叙说为，任一质数分化除了因数的排序外，都是仅有的。因而，尽管实务上存在许多质数分化演算法来分化较大的数字，但最终都会得到相同的效果。

若

p

{\displaystyle p}

为质数，且

p

{\displaystyle p}

可整除整数的乘积

a

b

{\displaystyle ab}

，则

p

{\displaystyle p}

可整除

a

{\displaystyle a}

或可整除

b

{\displaystyle b}

。此一出题被称为欧几里得引理[4]，被用来证明质数分化的仅有性。

1是否为质数[修改]

最前期的希腊人乃至不将1视为是一个数字[5]，因而不会以为1是质数。到了中世纪与文艺复兴时期，许多数学家将1归入作为第一个质数[6]。到18世纪中期，克里斯蒂安·哥德巴赫在他与李昂哈德·欧拉闻名的通信里将1列为第一个质数，但欧拉不同意[7]。但是，到了19世纪，仍有许多数学家以为数字1是个质数。例如，德里克·诺曼·雷默（Derrick Norman Lehmer）在他那最大达10,006,721的质数列表[8]中，将1列为第1个质数[9]。昂利·勒贝格据说是最终一个称1为质数的工作数学家[10]。到了20世纪初，数学家开端以为1不是个质数，但反而作为“单位”此一特别类别[6]。

许多数学效果在称1为质数时，仍将有用，但欧几里何的算术根本定理（如上所述）则无法不从头叙说而依然建立。例如，数字15可分化成3 · 5及 1 · 3 · 5；若1被答应为一个质数，则这两个表明法将会被以为是将15分化至质数的不同办法，使得此一定理的陈说有必要被批改。同样地，若将1视为质数，埃拉托斯特尼筛法将无法正常运作：若将1视为质数，此一筛法将会排除去一切1的倍数（即一切其他的数），只留下数字1。此外，质数有几个1所没有的性质，如欧拉函数的对应值，以及除数函数的总和[11][12]。

前史[修改]

埃拉托斯特尼筛法是个找出在一特定整数以下的一切质数之简略演算法，由古希腊数学家埃拉托斯特尼于公元前3世纪创造。

在古埃及人的幸存纪录中，有痕迹显现他们对质数已有部分知道：例如，在莱因德数学纸草书中的古埃及分数打开时，对质数与对合数有著彻底不同的类型。不过，对质数有过详细研讨的最早幸存纪录来自古希腊。公元前300年左右的《几许本来》包括与质数有关的重要定理，如有无限多个质数，以及算术根本定理。欧几里得亦展现怎么从梅森质数建构出彻底数。埃拉托斯特尼提出的埃拉托斯特尼筛法是用来核算质数的一个简略办法，尽管今天运用电脑发现的大质数无法运用这个办法找出。

希腊之后，到17世纪之前，质数的研讨罕见发展。1640年，皮埃尔·德·费马叙说了费马小定理（之后才被莱布尼茨与欧拉证明）。费马亦估测，一切具

2

2

n

+

1

{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}

办法的数均为质数（称之为费马数），并验证至

n

=

4

{\displaystyle n=4}

（即216 + 1）不过，后因由欧拉发现，下一个费马数232 + 1即为合数，且实践上其他已知的费马数都不是质数。法国修道士马兰·梅森发现有的质数具

2

p

−

1

{\displaystyle 2^

-1}

的办法，其间

p

{\displaystyle p}

为质数。为留念他的奉献，此类质数后来被称为梅森质数。

欧拉在数论中的效果，许多与质数有关。他证明无量级数

1

2

+

1

3

+

1

5

+

1

7

+

1

11

+

…

{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\ldots }

会发散。1747年，欧拉证明每个偶彻底数都确实为

2

p

−

1

(

2

p

−

1

)

{\displaystyle 2^{p-1}(2^

-1)}

的办法，其间第二个因数为梅森质数。

19世纪初，勒壤得与高斯独立估测，当

x

{\displaystyle x}

趋向无限大时，小于

x

{\displaystyle x}

的质数数量会趋近于

x

ln

⁡

x

{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}

，其间

ln

⁡

x

{\displaystyle \ln x}

为

x

{\displaystyle x}

的天然对数。黎曼于1859年有关ζ函数的论文（英语：On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中勾勒出一个程式，导出了质数定理的证明。其纲要由雅克·阿达马与夏尔-让·德拉瓦莱·普桑所完结，他们于1896年独立证明出质数定理。

证明一个大数是否为质数一般无法由试除法来到达。许多数学家已研讨过大数的质数测验，一般局限于特定的数字办法。其间包括费马数的贝潘测验（英语：Pépin's test）（1877年）、普罗丝定理（约1878年）、卢卡斯-莱默质数判定法（1856年起）[13]及广义卢卡斯质数测验（英语：Lucas primality test）。较近期的演算法，如APRT-CL（英语：Adleman–Pomerance–Rumely primality test）、ECPP（英语：Elliptic curve primality）及AKS等，均可作用于恣意数字上，但仍慢上许多。

长期以来，质数被以为在纯数学以外的当地只要极少数的运用[14]。到了1970年代，创造公共密钥加密这个概念之后，情况改变了，质数变成了RSA加密演算法等一阶演算法之根底。

自1951年以来，一切已知最大的质数都由电脑所发现。对更大质数的查找已在数学界以外的当地产生出爱好。网际网路梅森质数大查找及其他用来寻觅大质数的涣散式运估计画变得盛行，在数学家仍继续与质数理论斗争的一起。

素数的数目[修改]

主条目：欧几里得定理

存在无限多个质数。另一种说法为，质数序列

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

永久不会完毕。此一陈说被称为“欧几里得定理”，以古希腊数学家欧几里得为名，由于他提出了该陈说的第一个证明。已知存在其他更多的证明，包括欧拉的剖析证明、哥德巴赫根据费马数的证明[15]、弗斯滕伯格运用一般拓扑学的证明[16]，以及库默尔高雅的证明[17]。

欧几里得的证明[修改]

欧几里得的证明[18]取任一个由质数所组成的有限调集

S

{\displaystyle S}

。该证明的要害主意为考虑

S

{\displaystyle S}

内一切质数相乘后加一的一个数字：

N

=

1

+

∏

p

∈

S

p

{\displaystyle N=1+\prod _{p\in S}p}

。

好像其他天然数一般，

N

{\displaystyle N}

可被至少一个质数整除（即便N自身为质数亦同）。

任何可整除N的质数都不或许是有限调集

S

{\displaystyle S}

内的元素（质数），由于后者除N都会馀1。所以，

N

{\displaystyle N}

可被其他质数所整除。因而，任一个由质数所组成的有限调集，都能够扩展为更大个由质数所组成之调集。

这个证明一般会被过错地描绘为，欧几里得一开端假定一个包括一切质数的调集，并导致对立；或者是，该调集刚好包括n个最小的质数，而不恣意个由质数所组成之调集[19]。今天，

n

{\displaystyle n}

个最小质数相乘后加一的一个数字，被称为第

n

{\displaystyle n}

个欧几里得数。

欧拉的解析证明[修改]

欧拉的证明运用到质数倒数的总和

S

(

p

)

=

1

2

+

1

3

+

1

5

+

1

7

+

⋯

+

1

p

{\displaystyle S(p)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}

}}

。

当

p

{\displaystyle p}

够大时，该和会大于恣意实数[20]。这可证明，存在无限多个质数，不然该和将只会添加至到达最大质数

p

{\displaystyle p}

停止。

S

(

p

)

{\displaystyle S(p)}

的添加率可运用梅滕斯第二定理来量化[21]。比较总和

1

1

2

+

1

2

2

+

1

3

2

+

⋯

+

1

n

2

=

∑

i

=

1

n

1

i

2

{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}}

当

n

{\displaystyle n}

趋向无限大时，此和不会变成无限大（见巴塞尔问题）。这意味著，质数比天然数的平方更常呈现。布朗定理指出，孪生质数倒数的总和

(

1

3

+

1

5

)

+

(

1

5

+

1

7

)

+

(

1

11

+

1

13

)

+

⋯

=

∑

p

 prime, 

p

+

2

 prime

(

1

p

+

1

p

+

2

)

,

{\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}p{\text{ prime, }}\\p+2{\text{ prime}}\end{smallmatrix}}{\left({{\frac {1}

}+{\frac {1}{p+2}}}\right)},}

是有限的。

测验质数与整数分化[修改]

承认一个数

n

{\displaystyle n}

是否为质数有许多种办法。最根本的程序为试除法，但由于速率很慢，没有什么实践用途。有一类现代的质数测验可适用于恣意数字之上，还有一类更有用率的测验办法，则只能适用于特定的数字之上。大多数此类办法只能区分

n

{\displaystyle n}

是否为质数。也能给出

n

{\displaystyle n}

的一个（或悉数）质因数之程序称之为因数分化演算法。

试除法[修改]

主条目：试除法

测验

n

{\displaystyle n}

是否为质数的最根本办法为试除法。此一程序将n除以每个大于1且小于等于

n

{\displaystyle n}

的平方根之整数

m

{\displaystyle m}

。若存在一个相除为整数的效果，则

n

{\displaystyle n}

不是质数；反之则是个质数。实践上，若

n

=

a

b

{\displaystyle n=ab}

是个合数（其间

a

{\displaystyle a}

与

b

≠

1

{\displaystyle b\neq 1}

），则其间一个因数

a

{\displaystyle a}

或

b

{\displaystyle b}

必定至大为

n

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

。例如，对

n

=

37

{\displaystyle n=37}

运用试除法，将37除以

m

=

2

,

3

,

4

,

5

,

6

{\displaystyle m=2,3,4,5,6}

，没有一个数能整除37，因而37为质数。此一程序若能知道直至

n

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

的一切质数列表，则能够只查看

m

{\displaystyle m}

为质数的情况，以提高功率。例如，为查看37是否为质数，只要3个相除是必要的（

m

=

2

,

3

,

5

{\displaystyle m=2,3,5}

），由于4与6为合数。

作为一个简略的办法，试除法在测验大整数时很快地会变得不切实践，由于或许的因数数量会随著n的添加而敏捷增